خرید و دانلود فایل پاورپوینت کامل پاراداکسها (۱)

بخشی از متن فایل پاورپوینت کامل پاراداکسها (۱) :

۱ – پاراداکس دروغگو و پاراداکسهای مربوط به آن

پاراداکس ^(۲) دروغگو برای تئوری صدق مساله ای بس حائز اهمیت است و در واقع، تا حدود زیادی، برای پرهیز از همین پارادکس بود که تارسکی شرایط کفایت صوری ^(۳) را برای تعاریف صدق ارایه نمود. در این مقاله می خواهیم این پارادکس و پارادکسهای مشابه و مرتبط با آن را مورد پژوهش قرار دهیم

ابتدا ببینیم اساسا چرا چیزی به نام پارادکس دروغگو، (Liar paradox) وجود دارد؟ پاسخ آن است که جمله دروغگو، که چند سطر بعد خواهد آمد، به ضمیمه اصول کاملا روشنی که درباره صدق موجود است، با استدلال کاملا واضحی، به تناقض می انجامد. علت پارادکس نامیدن این جمله همین است. زیرا پارادکس به لحاظ ریشه لغوی به معنای «فرا اعتقاد» است، یعنی چیزی که انسان نمی تواند بدان اذعان نماید و آن را باور داشته باشد; و تناقض و نیز آنچه به تناقض می انجامد، اینگونه است.

جمله درغگو، که به تناقض می انجامد و پارادکس از آن تشکیل می شود، به گونه های مختلفی بیان شده است. روایت کلاسیک این پارادکس به این شکل است:

(ج) این جمله دروغ است.

فرض کنید جمله «ج » صادق است. اگر این جمله صادق باشد مضمون آن واقعیت خواهد داشت، یعنی جمله ای خواهد بود مطابق با واقع. اما اگر این جمله واقعیت داشته باشد، کاذب خواهد بود. از سوی دیگر فرض کنید جمله «ج » کاذب می باشد، در این صورت مضمون و محتوای آن غیر واقع و نادرست خواهد بود و بنابراین، آن جمله صادق خواهد بود.

نتیجه آنکه: «اگر جمله (ج) کاذب باشد، آن جمله صادق خواهد بود.» [واین تناقض است.]در این روایت از پارادکس دروغگو، جمله مورد نظر مستقیما ناظر به خود و راجع به خودش می باشد. زیرا وقتی گفته می شود «این جمله دروغ است »، لفظ «این » اشاره به نفس همان جمله ای دارد که واژه «این » در آن بکار رفته است. اما در روایتهای دیگر پارادکس دروغگو، جمله مورد نظر به طور غیر مستقیم به خودش اشاره دارد، مانند:

(۱)جمله پسین ^(۴) کاذب است. (۲)جمله پیشین ^(۵) صادق است.

اگر جمله (۱)صادق باشد، باید جمله پس از آن، یعنی جمله (۲)، کاذب باشد، و معنای کاذب بودن جمله (۲) آن است که جمله (۱) صادق نیست، یعنی کاذب است. پس اگر جمله (۱) صادق باشد، همان جمله کاذب خواهد بود. [و این تناقض است.]

پارادکسها

بیان دیگر پارادکس دروغگو، که جمله مورد نظر در آن به طور غیر مستقیم راجع و ناظر به خود است، به پارادکس کارت پستال معروف است. فرض کنید روی یک طرف کارت نوشته شده است:

جمله ای که روی طرف دیگر این کارت نوشته شده، کاذب است.

و روی طرف دیگر نوشته شده است:

جمله ای که روی طرف دیگر این کارت نوشته شده، صادق است.

[در اینجا نیز، اگر جمله اول را صادق بیانگاریم، سرانجام باید آن را کاذب بدانیم و اگر آن را کاذب بدانیم باید به صدقش اعتراف کنیم.]

پارادکس دیگر، پارادکس اپیمنیدس، (Epimenides) است. اپیمنیدس مردی از اهالی جزیره کرت است که طبق فرض، گفته است: «همه اهالی کرت همیشه دروغ می گویند.» این جمله اگر صادق باشد، کاذب خواهد بود، چون گوینده آن جمله خودش یکی از اهالی کرت است وبه حکم جمله فوق همه گفته هایش و از جمله همین سخن او دروغ خواهد بود. محذور این پارادکس (پارادکس اپیمنیدس) البته کمتر از اشکال پارادکس دروغگو است، و به عبارتی، کمتر از آن، پارادکسیکال است. زیرا جمله «همه اهالی کرت همیشه دروغ می گویند» می تواند جمله کاذبی باشد، و اگر کاذب باشد کذب آن مستلزم صدق آن نیست، برخلاف جمله دروغگو که هم صدق آن مستلزم کذب آن است، و هم کذبش مستلزم صدقش است. به دیگر سخن، جمله دروغگو نه می تواند صادق باشد و نه می تواند کاذب باشد. چون اگر صادق باشد، باید کاذب باشد; و اگر کاذب باشد باید صادق باشد; اما جمله اپیمنیدس اگر چه نمی تواند صادق باشد، چون از صدقش، کذبش لازم می آید، اما می تواند کاذب باشد، چرا که کذبش مستلزم صدقش نیست. زیرا کاذب بودن جمله «همه اهالی کرت همیشه دروغ می گویند» مستلزم آن نیست که بپذیریم: «همه اهالی کرت همیشه راست می گویند» بلکه مستلزم آن است که «بعضی از اهالی کرت بعضی از اوقات راست می گویند.» ^(۶)

پارادکس گرلینگ، (Grelling)

در پارادکس گرلینگ به جای مفهوم «صادق و کاذب » مفاهیم «صادق بر ^(۷) و غیر صادق بر ^(۸) »به کار رفته است. توضیح اینکه الفاظ را در یک تقسیم بندی می توان به دو گروه کلی تقسیم کرد:

۱ – الفاظ صادق برخود.

۲ – الفاظ غیر صادق بر خود.

الفاظ صادق برخود، الفاظی هستند که خودشان را می توان محمول خودشان قرار داد، یعنی بر خودشان صدق می کنند، مانند: کلمه، فارسی و اسم. و در برابر، الفاظ غیر صادق بر خود، مانند: حرف، فعل و انگلیسی. واژه «حرف، خودش حرف نیست بلکه اسم است، واژه «فعل » نیز خودش فعل نیست بلکه اسم است. و کلمه «انگلیسی »، یک لغت انگلیسی نیست بلکه فارسی است.

و دسته دوم را نا متجانس، (Heterological) می نامیم. با توجه به اینکه تقسیم فوق یک تقسیم حاصر است می پرسیم: واژه «نامتجانس » خود از کدام دسته است؟ آیا متجانس است یا نامتجانس. لفظ «نا متجانس » اگر صادق بر خودش باشد، یعنی جزء دسته نخست باشد، دیگر نامتجانس نبوده، و در نتیجه صادق بر خودش نیست. [ چون در صورتی صادق بر خودش است که خودش نامتجانس باشد.] و اگر غیر صادق بر خودش باشد، نامتجانس خواهد بود و در نتیجه غیر صادق برخودش نخواهد بود. خلاصه آنکه لفظ «نامتجانس » اگر نامتجانس باشد، متجانس است; و اگر متجانس باشد، نامتجانس است. و به دیگر سخن: اگر فرض کنیم جزء دسته دوم است، جزء دسته اول خواهد بود، و اگر فرض کنیم جزء دسته اول است، جزء دسته دوم خواهد بود ^(۹) .

پارادکس راسل

پارادکس راسل متضمن معنا و مفهوم مجموعه، (Set) است. برخی از مجموعه ها عضو خودشان هستند، اما برخی دیگر عضو خودشان نیستند. به عنوان مثال، مجموعه امور انتزاعی ^(۱۰) ،خودش یک امر انتزاعی است و لذا خودش عضو خودش می باشد، اما مجموعه گاوها خودش گاو نیست، و از این رو این مجموعه، عضوی از خودش به شمار نمی رود. حال، مجموعه مجموعه هایی را که خودشان عضو خودشان نیستند، در نظر بگیرید، یعنی مجموعه ای را که افراد و اعضایش عبارتند از: مجموعه هایی که خودشان عضو خودشان نیستند. سؤال این است که: آیا این مجموعه خودش عضو خودش هست یا نه؟ یعنی آیا از قبیل مجموعه امور انتزاعی است یا از قبیل مجموعه گاوها؟ اگر خودش عضو خودش باشد باید ویژگی و وصفی را که همه اعضای این مجموعه دارند، واجد باشد، و آن ویژگی آن است که «خودش عضو خودش نیست ». پس اگر فرض کنیم این مجموعه، عضو خودش باشد به این نتیجه می رسیم که عضو خودش نیست. از سوی دیگر، اگر این مجموعه عضو خودش نباشد، این مجموعه دارای همان وصف و خصوصیتی خواهد بود که اعضای آن مجموعه واجد آنند، زیرا مجموعه ای است که خودش عضو خودش نیست، و در نتیجه خودش عضو خودش خواهد بود. بنابراین، مجموعه همه مجموعه هایی که خودشان عضو خودشان نیستند، در صورتی که عضو خودش نباشد، عضو خودش خواهدبود ^(۱۱) .

پارادکس کانتر، (Cantor)

پارادکس کانتر نیز، همانند پارادکس راسل، مربوط به نظریه مجموعه هاست. تقریر پارادکس کانتر به این صورت است: هیچ مجموعه ای نمی تواند بزر گتر از مجموعه همه مجموعه ها باشد. اما برای هر مجموعه مفروضی، مجموعه دیگری هست که عبارت است از «مجموعه همه زیر مجموعه های آن مجموعه مفروض.» و این مجموعه بزرگتر از آن مجموعه نخست است، زیرا همه اعضای آن را دارد به علاوه یک عضو دیگر، که عبارت است از خود آن مجموعه نخست، زیرا هر مجموعه ای خودش زیر مجموعه خودش است ^(۱۲) .

اینها نمونه هایی است از پارادکسهای مطرح شده که در کتابهابیان شده است. البته موارد دیگری نیز یافت می شود که از ذکر آن خودداری شد، زیرا غرض ما در اینجا تنها آشنایی با نوع مشکلاتی است که در رابطه با این پارادکسها پدید آمده است، نه استقرای تام تمام پارادکسهای مطرح شده. امیدواریم نمونه های ذکر شده به نحو کافی روشنگر نوع مسایل و مشکلاتی باشد که یک راه حل پیشنهادی برای گشودن این پارادکسها باید بدان بپردازد ملاحظه انواع گوناگون پارادکسها شخص را قادر می سازد که تشخیص دهد آیا راه حل های ارائه شده فرا گیر هست و می تواند پاسخی برای همه اقسام پارادکس باشد یا نه؟

پارادکسهای نظریه مجموعه ها و پارادکسهای معنای

اگر چه پاره ای از پارادکسهای یاد شده از مدتها پیش شناخته شده بودند، اما تنها پس از مطرح شدن پارادکس راسل، این پارادکسها موضوع بحثهای جدی فلسفی قرار گرفتند و مباحث عمده ای را به خود اختصاص دادند.

فرگه علم حساب را به منطق جمله ها، منطق محمولها و تئوری مجموعه ها تحویل برد، اما راسل نشان داد که پارادکس او معضلی جدی برای سیستم ارایه شده توسط فرگه است. این پارادکس نشان می داد که سیستم فرگه ناسازگار است و در آن تناقض یافت می شود.

فرگه امیدوار بود که با تحویل بردن علم حساب به اصول بدیهی، پایه های استواری برای این علم فراهم سازد; واز این رو، این واقعیت که از اصول موضوعه منطقی و بدیهی او تناقض به دست می آید، شوک معرفت شناختی سختی بر وی وارد آورد.

این پارادکسها را نمی توان صرفا با انگ معما یا لغز یا حیله و مانند آن از میدان به در کرد; چرا که اینها فی الواقع تعارضها و تناقضهایی هستند که از نظریه مجموعه ها بر آمده اند. با توجه به این واقعیت که هر چیز را می توان از تناقض استنتاج کرد، معلوم می گردد که نتایج و لوازم این پارادکسها برای هر سیستمی که چنین پارادکسهایی از آن به دست می آید، غیر قابل تحمل می باشد.

پارادکس راسل به مثابه اهرم فشاری برای تدبیرهایی که جهت انتخاب یک تئوری مجموعه ای سازگار اندیشیده می شود، عمل می کند; و به نحو مشابه، پارادکس دروغگو همچون اهرم فشاری است بر روی چاره جوییهایی که برای ارایه یک تئوری معنایی سازگار به عمل می آید.

در اینجا بحثی است که باید پیش از بررسی راه حلهای ارایه شده بدان توجه نمود و آن اینکه آیا پارادکسهای یاد شده در دودسته کاملا متمایز قرار می گیرند یا آنکه یک خویشاوندی و همانندی میان همه آنها بر قرار است، به گونه ای که می توان همه آنها را بایک بیان واحد حل نمود وپرده از راز همه آنها برگرفت؟ در آغاز چنین به نظر می رسد که این پارادکسها در دو دسته متمایز قرار می گیرند: پارادکسهایی که لزوما در بردارنده مفاهیم نطریه مجموعه ها ^(۱۳) هستند، مانند پارادکس راسل، و پارادکسهایی که لزوما در بردارنده مفاهیم معناشناسی ^(۱۴) می باشند، مانند صدق و کذب. تفکیک میان پارادکسهای نظریه مجموعه ها و پارادکسهای معناشناسی، عقیده ای شایع و رایج است که از پیانو آغاز شده و پس از دفاع قوی رمسی در سال ۱۹۲۵ رواج یافته است ^(۱۵)

البته راسل خودش با این دسته بندی چندان موافق نیست. او معتقد است منشا همه این پارادکسها یک خطا و مغالطه است و آن خطا عبارت است از: تخلف از «اصل دور باطل »، .(Vicious Circle Principle)

اگر فرض شود شماری از پارادکسها از برخی ویژگیهای مفاهیم نظریه مجموعه ها و سایر پارادکسها از برخی ویژگیهای مفاهیم معناشناسی ناشی می شوند، در این صورت دسته بندی آنها به دو گروه متمایز قابل قبول خواهد بود; اما اگر، مانند راسل، معتقد باشیم که همه این پارادکسها و تمام این آشفتگیها و اشکالها از امری عمیقتر و ریشه ای بر آمده است که در همه پارادکسها مشترک می باشد، این تفکیک نا صواب خواهد بود.

به عقیده من، دشوار می توان خویشاوندی بدوی همه پارادکسها با یکدیگر را رد کرد، و با قاطعیت بر تفکیک میان آنها حکم راند. مطمئنا راه حلی که همه این پارادکسها را شامل شود، خشنود کننده تر از راه حلی است که تنها پاره ای از آنها را در بر گیرد. بنابر این، بهتر آن است که این تقسیم بندی را مسلم نپنداریم و باب بحث درباره آن را همچنان گشوده بدانیم تا ببینیم به چه نتیجه ای خواهیم رسید.

۲ – راه حلهای پارادکسها

ویژگیهای لازم برای یک راه حل

پیش از ارزیابی راه حلهایی که برای پارادکسها ارایه شده است، مناسب است درباره ویژگیهایی که یک راه حل مقبول باید از آن برخوردار باشد، صحبت کنیم. ابتدا ببینیم مشکل و مساله ما واقعا چیست؟ مساله این است که نتایج متعارض و متناقضی از یک استدلال قطعی و اجتناب ناپذیر با مقدماتی قطعی و مسلم به دست می آید. به بیان دیگر: استدلالی که هم از جهت صورت و هم از جهت ماده قطعی و مسلم است تناقض نتیجه می دهد. این مشکل، دو ویژگی را برای هر راه حل پیشنهادی الزام می کند:

۱ – هر راه حل پیشنهادی باید یک تئوری سازگار صوری ^(۱۶) ارایه دهد (در باب معناشناسی یا نظریه مجموعه ها، در هر مورد که باشد). به دیگر سخن، بیان کند کدام مقدمه یا اصل استنتاج، که قطعی و مسلم انگاشته می شد، باید رد شود و غیر معتبر به شمار آید (حل صوری) ^(۱۷) و افزون بر آن، توضیح دهد که آن مقدمه یا اصل، چرا و به چه علت، علی رغم وضوح بدوی اش، باید کنار نهاده شود (حل فلسفی) ^(۱۸) . البته تحدید دقیق ویژگیهای لازمی که این تبیین و توضیح باید دربرداشته باشد، امری دشوار است، اما اگر بخواهیم مطلب را کلی و سربسته و بدون وارد شدن در جزئیات بیان کنیم باید بگوییم: این تبیین باید نشان دهد که مقدمه یا اصل رد شده، به گونه ای است که قطع نظر از منتهی شدن به تناقض، اشکال و نارسایی خاصی دارد. این نکته در کمال اهمیت و در عین حال بسیار دشوار است که از آن دسته از راه حلها که با شیوه ای به ظاهر تبیین گر تنها جمله های متخلف را مشخص می کنند، پرهیز شود.

۲ – ویژگی دوم یک راه حل پذیرفتنی به قلمرو و حوزه آن مربوط می شود. یک راه حل مطلوب نباید دامنه اش چندان گسترده باشد که استدلالهای مطلوب و مورد استفاده ما را نیز از میان بردارد و عقیم سازد (اصل عدم گستردگی بیش از حد); اما در عین حال باید آن اندازه وسیع و گسترده باشد که همه استدلالهای تناقض نما و پارادکسیکال مربوطه را عقیم گرداند (اصل عدم محدودیت بیش از حد). البته تعیین پارادکسهای مربوطه و تفکیک آن از سایر پارادکسها امری دشوار است.

در سطح صوری، اصل دوم (عدم محدودیت بیش ازحد) ایجاب می کند که یک حل مطلوب به گونه ای باشد که سازگاری و هماهنگی ^(۱۹) را حفظ کند. پاسخ فرگه به ناسازگاریی که راسل در نظریه مجموعه های او کشف کرده بود، یک تقیید و محدودیت صوری است که برخی پارادکسهای نزدیک به پارادکس راسل را شامل نمی شود و از حل آنها عاجز است، و از این رو اصل فوق در آن رعایت نشده است.

در سطح فلسفی، این اصل (عدم محدودیت بیش از حد) الزام می کند که تبیین پیشنهادی تا آنجا که ممکن است، عمیق باشد. این ویژگی، سخن پیشین ما را نیز تایید و تقویت می کند که حلی که هر دو دسته از پارادکسها (پارادکسهای معنا شناسی و پارادکسهای نظریه مجموعه ها) را شامل می گردد، بر حلی که تنها یک دسته از پارادکسها را شامل می شود، ترجیح دارد.

اگر به اختصار برخی از حلهای ارایه شده که نتوانسته اند به نحو مطلوب مساله ای را بگشایند و معما را حل نمایند، بررسی گردد، شاید اهمیت و اعتبار ویژگیهای یاد شده مورد تصدیق قرار گیرد.

راه حل نخست: فی المثل; برخی گفته اند: اشکال قضایایی که به تناقض می انجامند آن است که ناظر و راجع به خودشان ^(۲۰) هستند، یعنی حکم و مطلبی را مستقیما درباره خودشان بیان می کنند. پس اگر قضایای راجع و ناظر به خود را کنار گذاریم و آنها را مردود بدانیم، تناقضی به بار نخواهد آمد.

ارزیابی: این راه حل بسیار گسترده و در عین حال بسیار محدود است و از این رو، هم اصل «عدم گستردگی بیش از حد»را نقض می کند و هم اصل «عدم محدودیت بیش از حد». اصل «عدم گستردگی بیش از حد» را نقض می کند، چون نه تنها بسیاری از قضایای بی زیان و صحیح و متعارف وجود دارد که ناظر و راجع به خود است (مانند: این جمله فارسی است، این عبارت به خط سیاه است)، بلکه برخی استدلالهای ریاضی به نحو اساسی از جملاتی استفاده می کند که ناظر به خود می باشند، مانند استدلال گدل برای اثبات ناتمام بودن علم حساب. از این رو کنار نهادن تمام قضایای ناظر به خود، لوازم و توابع خطیری به دنبال دارد.

در عین حال، این راه حل شامل همه روایتهای پارادکس دروغگو نمی شود، زیرا در برخی از روایتهای آن، جمله مورد نظر به طور مستقیم و صریح ناظر به خود نیست. مثلا عبارت «جمله پسین دروغ است » و عبارت «جمله پیشین راست است » هیچ کدام ناظر به خود نیستند. لذا این حل پیشنهادی، بیش از حد محدود است و همه آنچه را باید در برگیرد، شامل نمی شود.

راه حل دوم: استنتاج تناقض از جمله دروغگو مبتنی بر این فرض است که عبارت «این جمله دروغ است » از دو حال بیرون نیست: یا صادق است و یا کاذب. لذا کاملا قابل پیش بینی است که برای حل این پارادکس پیشنهاد شود که این فرض را باید کنار نهاد. بوخوار، (Bochvar) برای حل پارادکس دروغگو، منطق سه ارزشی را مطرح کرد، در برابر منطق کلاسیک که تنها در آن دو ارزش صدق و کذب تعریف شده است. در منطق بوخوار ارزش سوم به قضایای پارادکسیکال تعلق دارد، یعنی قضایایی که کذب آنها مستلزم صدق و صدق آنها مستلزم کذبشان است.

ارزیابی: همان اشکال پیشین بر این حل نیز وارد می شود، یعنی نه اصل عدم گستردگی بیش از حد در آن رعایت شده است و نه اصل عدم محدودیت بیش از حد. اصل اول در آن رعایت نشده چون مستلزم تغییر در اصول اولیه و اساسی منطق است، و اصل دوم در آن رعایت نشده چون قویترین روایت پارادکس دروغگو را حل نمی کند و آن این روایت است:

این جمله یا کاذب است یا پارادکسیکال.

جمله فوق، اگر صادق باشد کاذب یا پارادکسیکال است، و اگر کاذب باشد صادق است، و اگر پارادکسیکال باشد صادق است، در حالی که در منطق سه ارزشی بوخوار جمله ای که صادق است نه کاذب خواهد بود ونه پارادکسیکال، و جمله ای که کاذب و یا پارادکسیکال است دیگر صادق نخواهد بود.

راه حل سوم: در این راه حل نیز این فرض که «جمله دروغگو باید یا صادق باشد یا کاذب » انکار می شود، با این تفاوت که ارزش صدق سومی به آن داده نمی شود. در این راه حل گفته می شود که جمله دروغگو از سنخ جملاتی نیست که ارزش صدقی دارند. بنابر آنچه در این راه حل آمده است، تنها خبرها هستند که یا صادق اند یا کاذب، و جمله دروغگو اساسا خبر نیست.

ارزیابی: ضعف این راه حل در آن است که بیان روشنی برای خبر نبودن جمله دروغگو ارایه نمی دهد، چون نکته و سر این مطلب را بیان نمی کند که چرا جمله دروغگو ارزش صدق ندارد. بر فرض که بپذیریم تنها خبرها یا قضایا از ارزش صدق برخوردارند، باید توضیح داده شود که چرا جمله دروغگو ارزش صدق ندارد و جزءمواردی نیست که لزوما یا صادق اند یا کاذب. جمله دروغگو هم بر حسب ساختار نحوی و هم بر حسب محتوا و مضمون یک جمله خبری است، پس چرا نباید همانند سایر خبرها، یا صادق باشد یا کاذب. کمترین چیزی که این راه حل باید بیان کند آن است که اولا: شرایطی که موجب می شود یک عبارت، خبر به شمار آید کدام اند؟ ثانیا: چرا جمله دروغگو فاقد آن شرایط است؟ ثالثا: چرا فقط خبرها هستند که یا صادق اند یا کاذب؟ در غیر این صورت، این اشکال وارد خواهد بود که حل ارایه شده به نحو کافی روشن و تبیین گر نیست.

راه حل راسل: تئوری طبقات، اصل دور باطل

راسل از یک سو، حل صوری را مطرح می کند (تئوری طبقات ^(۲۱) ) و از سوی دیگر، حل فلسفی را (اصل دور باطل) ^(۲۲) .

امروزه معمول است که در حل صوری راسل دو امر را از یکدیگر تفکیک می کنند: یکی نظریه ساده طبقات و دیگری نظریه منشعب طبقات.

تئوری ساده طبقات، عالم گفتار را به سلسه ای از مراتب تقسیم می کند: عالم افراد (طبقه صفر)، عالم مجموعه های افراد (طبقه یک)، عالم مجموعه های مجموعه های افراد (طبقه دو) و … با شماره ذیل هر متغیر، مشخص می شود که آن متغیر به کدامیک از این عوالم مربوط است. بنابراین، ۰ X مربوط به طبقه صفر، ۱ X مربوط به طبقه یک و ۲ X مربوط به طبقه دو است، و به همین ترتیب.

بدینسان قواعد ساخت ^(۲۳) دارای یک شرط می شوند، و آن اینکه دستور صوری فرمول « X عضو Y »تنها وقتی صحیح عضو Xn »یک فرمول غلط است، و در نتیجه این مطلب که «یک شی ء عضو خودش نیست » که مقوم پارادکس راسل بود، اساسا قابل بیان نیست. زیرا بنابر تئوری طبقات، تعلق یک شی ء به مجموعه ای از طبقه خودش امری بی معناست و لذا سلبا و ایجابا قابل بیان نیست. تنها نسبت به مجموعه ای از طبقه بالاتر از خود است که شی ء یا بدان تعلق دارد یا ندارد. این روایت ساده تئوری طبقات است. اما تئوری منشعب طبقات، سلسله مراتبی از گزاره های (جمله های بسته) ^(۲۴) و توابع گزاره ای (جمله های باز) ^(۲۵) را الزام می کند و این قید را مفروض می گیرد که هیچ گزاره (یا تابع گزاره ایی) ^(۲۶) نمی تواند در باره گزاره ها (یا توابع گزاره ای) که متعلق به طبقه خود یا طبقه بالاتر از خود است ناظر باشد و مطلبی را درباره آنها بیان دارد. به دیگر سخن، یک گزاره نمی تواند سوری آنچنان کلی داشته باشد که خودش و یا گزاره های هم طبقه یا مربوط به طبقه بالاتر از خودش را شامل گردد. مفاهیم «صادق » و «کاذب » نیز باید مقید به قید مذکور شوند، یعنی تنها قضایایی را در برگیرند که بر آنها اطلاق می شوند. به دیگر بیان، فقط قضایایی را شامل شوند که در طبقه زیرین قرار دارند، و در برگیرنده قضایای هم طبقه یا مربوط به طبقه بالاتر انگاشته نشوند. یک قضیه مربوط به طبقه n در طبقه ۱ + n صادق و یا کاذب است. بنابراین، جمله دروغگو که صدق و کذب خودش را ذکر می کند، قابل بیان نیست، یعنی جمله ای بی معنا و فاقد محتواست، درست همانگونه که در تئوری ساده طبقات نمی توان گفت: شی ء عضو خودش نیست.

راسل تفکیک پارادکسها به دو دسته متمایز را صحیح نمی دانست. او معتقد بود که همه پارادکسها از یک خلط و خطا رنج می برند و از یک اشتباه روییده اند، یعنی آنچه راسل، به تبع پوانکاره، آن را اصل دور باطل نامیده است. راسل اصل دور باطل را به گونه های مخ