خرید و دانلود فایل پاورپوینت کامل هندسه نا اقلیدسی ، انقلابی پارادایمی در ریاضیات

بخشی از متن فایل پاورپوینت کامل هندسه نا اقلیدسی ، انقلابی پارادایمی در ریاضیات :

چکیده
تصویر کوهن از سیر تحول یک علم را می توان به وسیله طرح بی پایان زیر خلاصه کرد :
پیش علم – علم عادی – بحران – انقلاب – علم عادی جدید – بحران جدید
ویژگی عمده نظریه وی تأکیدی است که بر ممیزه انقلابی تحولات علمی دارد؛ به طوری که طبق آن ، انقلاب متضمن طرد و رد یک ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگاری دیگر است . ویژگی مهم دیگر، نقش پراهمیتی است که ممیزات جامعه شناختی جوامع علمی در نظریه کوهن ایفا می کند. از زمان انتشار کتاب ساختار انقلابهای علمی همواره این پرسش مطرح بوده که آیا تصویر کوهن از تاریخ علوم طبیعی در مورد ریاضیات نیز به کار بردنی است . به نظر می رسد پاسخ منفی باشد؛ زیرا واضح است که طبیعت ریاضیات از مهم ترین ویژگی تصویر کوهن از توسعه یک علم , یعنی “انقلاب ” پیروی نمی نماید. در این مقاله سعی شده تا نشان داده شود که گذر از هندسه اقلیدسی به هندسه نااقلیدسی انقلابی کوهنی در ریاضیات است. البته این بدان معنا نیست که تمامی مقوّمات تصویر کوهن عیناً در حوزه ریاضیات صادق است ؛ بلکه دو ویژگی مهم آن , یعنی ممیزه انقلابی تحول علمی و ممیزه جامعه شناختی علم , درحوزه معرفت ریاضی نیز صدق می نماید. به عبارت دیگر, انقلاب کوهنی در ریاضیات واقعاً امکان پذیر است , هرگاه ما با یک پارادایم کوهنی در ریاضیات سروکار داشته باشیم که مورد پذیرش جامعه علمی قرار گرفته باشد. تغییر این پارادایم , انقلاب کوهنی را در پی خواهد داشت .
واژگان کلیدی : پارادایم , هندسه نااقلیدسی, قیاس ناپذیری , انقلاب کوهنی, کوهن مقدمه
در تصویر کوهن از شیوه تحول یک علم ، پارادایم مشتمل است بر مفروضات کلی تئوریک ، قوانین ، فنون ، کاربردها و ابزارآلات که اعضای جامعه علمی خاصی را بر می گیرند. پژوهشگران درون یک پارادایم ، خواه مکانیک نیوتنی باشد؛ خواه علم الابصار موجی و یا شیمی تحلیلی و یا هر چیزی دیگر به امری مشغول اند که کوهن آن را “علم عادی ” می نامد. کوشش دانشمندان عادی جهت تبیین و تطبیق رفتار برخی از چهره های مربوط به هم عالم طبیعت که به واسطه نتایج آزمایش آشکار گردیده ، پارادایم را تفصیل و توسعه می بخشد. ضمن این کار، آنها لاجرم مشکلاتی را تجربه خواهند کرد و با مشاهدات خلاف انتظار یا اعوجاجهای آشکاری مواجه خواهند شد. اگر مشکلاتی از آن نوع را نتوان فهم و رفع نمود, وضعیتی “بحرانی ” به وجود خواهد آمد. بحران هنگامی مرتفع خواهد شد که پارادایم کاملاً جدیدی ظهور نماید و مورد حمایت روزافزون دانشمندان واقع شود تا جایی که پارادایم مسأله انگیز اولیه در نهایت مطرود شود. پارادایم جدید، حاوی نویدهایی است و مشکلات ظاهراً فایق نیامدنی ندارد و از این پس , فعالیت علمی عادی جدید را هدایت می کند تا اینکه آن نیز با مشکلاتی جدی رو به رو شود و بحران جدیدی بزاید که به دنبال آن , انقلاب جدیدی ظاهر شود. به نظر “چالمرز” ویژگی عمده چنین طرح بی پایانی درباره تحول یک علم ،”تأکیدی است که بر ممیزه انقلابی پیشرفتهای علمی دارد؛ به طوری که طبق آن , انقلاب متضمن طرد و رفض یک ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگار دیگری باشد”. (چالمرز، ۱۳۷۴، ص ۱۳).
به طوری که کوهن پارادایم های پیش و پس از انقلاب را “قیاس ناپذیر” می داند. معمولاً گمان می شود در زمان یک انقلاب علمی ، معیارهایی که دانشمندان در ارزیابی رجحان یک نظریه بر نظریه رقیب استفاده می نمایند، عبارت اند از: “دقت پیش بینی به ویژه پیش بینی کمّی ، توازن بین موضوعات روزمره و غامض ، و تعداد مسائل مختلف حل شده ” (kuhn;1970,p.206), اما کوهن معتقد است معیارهایی از این قبیل ارزشهای جامعه علمی را تشکیل می دهند و شیوه هایی که این ارزش ها به مدد آن تعیین می شود “باید در تحلیل نهایی ، روان شناختی یا جامعه شناختی باشد؛ به عبارت دیگر، باید توصیف یک نظام ارزشی یا یک ایدئولوژی باشد, همراه با تحلیلی از نهادهایی که به واسطه آنها آن نظام انتقال و استحکام می یابد” (lakatos and musgrave; 1970, p.21) “هیچ معیاری بالاتر از موافقت جامعه مربوطه نیست ” (kohn; 1970, p.94) کوهن این ادعا را با مثالهایی از تاریخ علم در حوزه هایی همچون فیزیک ، نجوم و شیمی درکتاب ساختار انقلابهای علمی بیان می کند. پرسشی که مطرح می گردد این است که آیا این گونه تحول را درحوزه های دیگر علوم نیز می توان دید؟ در این میان , ریاضیات از اهمیت بسزایی برخوردار است ؛ زیرا معمولاً تصور می شود که ریاضیات صرفاً یک سری مدلهای مجرد منطقی به همراه علایم صوری است که به دور از ویژگیهای روانی و شخصیتی ریاضی دانان و خصوصیات و تعلقات جامعه ای که در آن زندگی می کنند، در ذهن ریاضی دان شکل می گیرد و هنگامی که در جامعه ریاضی مطرح می شود، ریاضی دانان به دور از تعلقات گروهی ، اجتماعی و تعهدات متافیزیکی که متأثر از نوع نگرش جامعه ای است که در آن زندگی می کنند، به ارزیابی آن می پردازند و باتوجه به معیارهایی چون پیروی از اصول منطق و سازگاری میان اصول موضوعه و قضایا، درباره صحت و سقم آن تصمیم می گیرند. همچنین ریاضی دانان انسانهایی معقول اند که تنها به صحت و درستی منطقی یک ساختار ریاضی می اندیشند و اگر نظریه ای ریاضی این شرط را برآورده نماید, مورد پذیرش جامعه ریاضی قرار خواهد گرفت . در این مقاله سعی شده با ارائه نمونه ای از تاریخ هندسه , یعنی انقلاب نااقلیدسی ، اولاً پارادایمی بودن هندسه اقلیدسی در مدت بیش از دو هزار سال _ از یونان باستان تا قرن نوزدهم _ نشان داده شود و ثانیاً اعوجاج بودن اصل توازی برای پارادایم هندسه اقلیدسی در این دوران بررسی گردد و نشان داده شود که چگونه این اعوجاج سرانجام به بحرانی در این حوزه در اوایل قرن نوزدهم می انجامد و نهایتاً انقلاب نااقلیدسی را در پی می آورد. ثالثاً نشان داده می شود که چگونه جامعه ریاضی دانها براساس ارزشها، باورها و تعهدات متافیزیکی خود, در رویارویی با هندسه جدید, واکنشی خصمانه بروز می دهند و چگونه سرانجام شهرت و اعتبار ریاضی دانی که از هندسه نااقلیدسی حمایت می کند – ونه صرفاً سازگاری منطقی هندسه نااقلیدسی – سبب پذیرش هندسه جدید می گردد. ۱ اصول (Elements)
سده چهارم پیش از میلاد, مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه افلاطون بود. تقریباً تمامی کارهای مهم ریاضی این دوره به وسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده است. تأثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیّات ریاضی وی نبوده است؛ بلکه به سبب این اعتقاد شورآمیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالی ترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می آورد و از این رو, در پرورش فیلسوفان و کسانی که باید دولت آرمانی وی را اداره می کردند، نقش اساسی داشت . از نظر وی “ریاضیات وضع واسطه ای بین صور و اشیا دارند “و ” صفات محسوس اجسام به ساختمان هندسی ذرات آنها بستگی دارد. این ساختمان هندسی به وسیله ساختمان سطوح آنها متعین می شود و ساختمان سطوح آنها بوسیله ساختمان دو نوع مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه و قائم الزاویه مختلف الاضلاع ، که از آنها ساخته شده اند.”(کاپلستون ، ۱۳۶۸, ص ۲۲۵). از این رو هندسه برای او اهمیت بسیار داشت . این اعتقاد، شعار معروف او را بر سر در آکادمی اش توجیه می کند: «کسی که هندسه نمی داند داخل نشود».
اقلیدس یکی از شاگردان مکتب افلاطون بود. وی سعی کرد ریاضیاتی را که توسط فیثاغورسیان شروع شده بود و بعداً بقراط ، ائودوکسوس ، تئاتیتوس و دیگران مطالبی به آن افزوده بودند، در کتابی به نام اصول گردآوری نماید. ارزش عمده این اثر در گزینش ماهرانه قضایا و دادن ترتیب منطقی به آنهاست . اقلیدس در اصول سعی کرد تا نمونه ای از تفکر اصل موضوعی را ارائه نماید. برای اینکه گزاره ای در یک دستگاه قیاسی اثبات شود، باید نشان داد که این گزاره پیامد منطقی لازم چند گزاره است که قبلاً به اثبات رسیده اند. گزاره های اخیر نیز خود باید به کمک گزاره هایی که قبلاً اثبات شده اند ثابت شوند و به همین ترتیب تا آخر. چون این تسلسل را نمی توان به طور نامحدود ادامه داد، در ابتدای امر، باید مجموعه محدودی از گزاره ها پذیرفته شوند. این گزاره های بدواً پذیرفته شده , “پوستولاها” یا “اصول موضوعه” مبحث نامیده می شوند و تمام گزاره های دیگر مبحث باید به طور منطقی به وسیله آنها ایجاب شوند. وقتی که گزاره های یک مبحث بدین صورت منظم شوند، گفته می شود که مبحث در شکل اصل موضوعی عرضه شده است . یکی از مهم ترین کارهای اقلیدس در کتاب اصول, بیان هندسه در قالب یک سیستم اصل موضوعی بود. در ساختن چنین سیستمی یک سری اصطلاحات هندسی همچون “نقطه ” و “خط ” به کار می رفتند که وی نهایت سعی خود را به کار گرفت تا همه این اصطلاحات را تعریف نماید. مثلاً او نقطه را “چیزی که هیچ جزء ندارد” و “خط ” را “طولی بدون پهنا” تعریف نمود. همچنین او “خط مستقیم ” را چنین تعریف می نماید: “خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که برخود آن هستند قرار داشته باشد”.
پنج اصل معروف وی در باب هندسه عبارت اند از:
اصل اول : از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه دیگر کشید.
اصل دوم : هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط بطور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم : می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم شده از مرکز آن ترسیم کرد.
اصل چهارم : همه زوایای قائمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم : اگر خط مستقیمی دو خط مستقیم را قطع کند, به طوری که مجموع زوایای داخلی یک طرف آن کمتر از دو قائمه باشد، این دو خط مستقیم ، اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند، در طرفی که دو زاویه مجموعاً از دو قائمه کمترند، همدیگر را قطع خواهند کرد.
اقلیدس با استفاده از این تعاریف و اصول , کلیه قضایای هندسی را ثابت کرد. ج . جیکسترویز (E.J.Dijksterhuis) در کتاب ارزشمند مکانیکی کردن تصویر جهان (The Non-Euclidean Revolution) صفحات ۵۰ تا ۵۲ سه عامل مهم را بیان می کند که سبب پذیرش و اقبال شگفت آور به کتاب اصول شد. وی معتقد است اولاً, اقلیدس در مقاله چهارم کتاب اصول , بیان استادانه ای از نظریه ائودوکسوس در مورد تناسب ارائه می نماید. این نظریه قابل استفاده در کمیت های نامتوافق و متوافق , “رسوایی منطقی ” ناشی از کشف اعداد ناگویا به وسیله فیثاغورس را حل کرد که یکی از دستاوردهای مهم ریاضیات یونانی بود و الگویی برای ارائه راه حلهای مسائل دیگر قرار گرفت . ثانیاً, ریاضیات یونانی فاقد نمادهای مناسب ریاضی بود. آنها از حروف برای نمایش اعداد استفاده می کردند و معادلات جبری را با پرگویی بسیار بیان می کردند. اقلیدس در مقاله پنجم اصول که نظریه ائودوکسوس درباره تناسب را در هندسه مسطحه به کار می برد، راه حل هندسی برای معادلات درجه دوم ارائه می کند. این روش هندسی بسیار مختصر و موجزتر از روشهای جبری بود که با پرگویی های بسیار همراه بود. ثالثاً, از همه مهم تر نوع نگرش حاکم بر حوزه ریاضیات و فلسفه بود. این حوزه ها به شدت تحت تأثیر فلسفه افلاطون بودند. مطابق نگرش وی , هندسه درباره “مثل ” عالم بالا صحبت می کند. اگر ما در مواردی در زندگی روزمره , ناگزیر به استفاده از نمایش اشکال هندسی هستیم , تنها برای تذکر به آن مثل می باشد. افلاطون چنان مقامی برای هندسه قائل بود که وقتی در رساله منون برای وضوح بخشیدن به یکی از آرای خویش , یعنی نظریه تذکر، به ریاضیات توسل می جوید، از قضیه ای استفاده می نماید که قابل نمایش هندسی است . این عوامل سبب شد به محض اینکه اصول پدید آمد, نهایت توجه را به خود جلب کرد؛ به طوری که هاورد. و. ایوز (Howard W.Eves) مورخ ریاضی امریکایی ، اصول را یکی از خط سیرهای مهم تکامل ریاضیات در یونان می داند. وی می گوید: “در تکامل ریاضیات طی ۳۰۰ سال اول ریاضیات یونانی, سه خط سیر مهم و متمایز را می توان تشخیص داد؛ ابتدا، بسط مطالبی است که مآلاً در اصول مدون شد… خط سیر دوم, شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بی نهایت کوچکها… و سومین مسیر تکامل , مربوط به هندسه عالی یا هندسه منحنی هایی به جز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است » (ایوز، ۱۳۶۸، ص ۱۰۱).
مقام رفیعی که هندسه به واسطه اصول و نگرش افلاطونی به ریاضیات یافت , چنان بود که تفکر علمی دانشمندان حوزه های علم الابصار و علم مکانیکی نیز عادتاً به کمک اشکال فضایی صورت می گرفت . ۲ عصر هندسه اقلیدسی
در قرون وسطا, ریاضیات مجرد و بالاخص هندسه چندان توسعه ای نیافت . بلکه صرفاً به جنبه های علمی این موضوع که با تجارت و شهرسازی مربوط می شد اکتفا می گشت . اما در اواخر قرون وسطا کاوشهای ریاضی جان تازه ای گرفت . لئوناردو داوینچی در مکانیک و هیدرولیک و اپتیک ، آزمونهای وسیعی به عمل آورد، همه مسبوق بدین فرض که نتایج متقن را باید به زبان ریاضی بیان کرد و به نمایش هندسی باز نمود. در قرن بعد، یعنی قرن ظهور کتاب دوران ساز کپرنیک ، دیگر همه متفکران بزرگ در مکانیک و سایر علوم فیزیکی _ ریاضی به روش هندسی گردن نهاده بودند. تارتاگلیا در کتاب علم جدید (Tartaglia: Nova Scienza) خود، که به سال ۱۵۳۷ انتشار یافت ، همین روش را در حل مسأله سقوط اجسام و برد نهایی پرتابه ها به کار برد و ستی ونوس (Stevinus) (1630-1548) طرح خاصی را به کار گرفت تا به کمک خطوط هندسی ، نیرو و حرکت و زمان را مصور سازد.
در سده های پانزدهم و شانزدهم ، نمادهای جبری رواج یافتند؛ اما این سبب کاسته شدن از اوج و اعتبار هندسه نشد. برای نمونه , باید به کاوشهای ریاضی در این دو قرن که درباره تئوری معادلات بود، اشاره نمود. این کاوشها درباره یافتن روشهایی برای تبدیل و ساده کردن (Reduction) و حل معادلات درجه دوم و سوم بود. مثلاً پاچیولی (Pacioli) (متوفی به حدود سال ۱۵۱۰) بیشتر به دنبال آن بود که علم بالنده جبر را در تحقیق خواص اشکال هندسی به کار گیرد. مسائلی که با آنها سروکار داشت از این قبیل بود؛ شعاع دایره ای که در مثلثی محاط شده , چهار اینچ است ؛ قطعاتی از یک ضلع که در دو طرف نقطه تماس (دایره و مثلث ) قرار دارند, شش اینچ و هشت اینچ است ؛ طول دو ضلع دیگر را تعیین کنید. دانشجویان این روزگار، با یک معادله ساده جبری مسأله را حل می کنند, ولی پاچیولی جز از طریق یک ترسیم پیچیده هندسی , بدین منظور نائل نمی آمد و از جبر فقط برای محاسبه طول پاره خطهای منظور بهره می جست . به همین نحوه , برای حل معادلات درجه دوم و سوم نیز در قرن شانزدهم همواره از روشهای هندسی بهره می جستند. بال (Ball) نمونه دل پذیری را ذکر می کند که فی المثل کاردانوس (Cardanus) برای حل معادله درجه سوم r =qx+ 3 x از چه راه پر مشقتی عبور می کرد (برت, صص۳۵و ۳۴).
رفته رفته امکانات وسیعی که در نمادهای جبری نهفته بود از قوه به فعل رسید و ریاضی دانان با روشهای پیچیده تر آشنایی یافتند، در عین اینکه هنوز هم به نمایش هندسی تحقیقات خویش متکی بودند. به زمان کاردانوس که می رسیم ، مسائل مبتلا به متفکران به درجه ای از غموض و ترکب می رسد که معادلات مربوط , محتاج تبدیلات و به خصوص ساده کردنهای مکرر، با حفظ مقدار اصلی می شوند و به زبان هندسی ، لازم می آید که اشکال مرکب را به اشکال ساده تر برگردانند، به طوری که یک دایره یا مثلث ساده, جانشین اشکال مرکب و متعدد گردد. این کار، غالباً کار پیچیده ای هم بود و از این رو طرحهای مکانیکی مختلفی تدبیر کرده بودند تا به کمک ریاضی دانان آید. گالیله در سال ۱۵۹۷ یک راهنمای هندسی منتشر کرد, متشکل از یک رشته قواعد مشروح برای تبدیل اشکال بی قاعده و یا ترکیب چند شکل باقاعده و تبدیل آنها به یک شکل با قاعده و اعمال این قواعد در حل مسائل خاصی چون به دست آوردن جذر اعداد، واسطه هندسی و امثال آنها. به کارگیری روشهای ساده کردن و تبدیل اشکال هندسی از مشخصات ریاضیات قرن شانزدهم است .
افلاطونی گری شایع و نیمه نهان آن عصر, جهان را جوهراً هندسی می دید و مقدمات بسیط و واپسین آن را ابعاض محدود فضا می دانست و کلاً آن را مجسم یک نظم هندسی ساده و زیبا می دانست . تمام متفکران عهد کهن و قرون وسطا, فضای هندسی و فضای واقعی عالم را یکی می دانستند. برای فیثاغوریان و افلاطونیان ، وحدت این دو فضا, خود نظریه ما بعد الطبیعی مهمی بود. دیگر مکتبها هم بر همین باور بودند، لیکن مدلولات کیهان شناختی آن را به طور شایسته مورد توجه قرار نمی دادند. نزد اقلیدس ، وحدت فضای فیزیکی و فضای هندسی جزو مسلمات بود. کتاب اول اصول ، اصلهای هشتم و دهم و نیز قضیه چهارم و کتاب یازدهم , قضایای سوم و هفتم و به خصوص کتاب دوازدهم ، قضیه دوم شاهدی بر این ادعا هستند. از این رو نجوم , شاخه ای از هندسه شمرده می شد و در واقع , آن را هندسه افلاک می دانستند. ادوین آرتور برت در کتاب ارزشمند مبانی مابعدالطبیعی علوم نوین معتقد است که همین تصور از نجوم , یکی از عوامل بسیار مهمی بود که کپرنیک را واداشت تا نظریه خورشید مرکزی را ارائه دهد: “حال که علم نجوم در اصل همان علم به هندسه افلاک دانسته می شد و حال که به روشهای هندسی ، معادلات جبری را ساده تر می کنند و یا به اشکال دیگری بر می گردانند، چه اشکالی دارد همین روشهای ساده کردن و تبدیل کردن را در علم نجوم هم به کار گیریم . اگر علم نجوم پاره ای از ریاضیات است , باید نسبت مقادیر ریاضی در آن هم جاری باشد؛ یعنی حرکاتی که بر روی نقشه سماوی به اجرام نسبت می دهیم , باید یکسره نسبی باشد و از لحاظ انطباق با واقع ، هر نقطه ای را بتوانیم به منزله مرجع نظام فضایی خود برگزینیم . کپرنیک درست به همین شیوه ، هیأت جدید را براندیشید و نظام خورشید مرکزی را از آن جهت که ساده تر و موزون تر از نظام زمین مرکزی است برگزید (برت ، ۱۳۶۹، ص ۳۸ و ۴۰). این نگرش هندسی به هستی و تعهدات متافیزیکی متعاقب آن , هندسه را همچون پارادایمی حاکم بر پژوهشهای علمی و تحولات فکری فلسفی این عصر درآورده بود. این پارادایم به دانشمند می گفت که در مواجهه با مسائلی که در پژوهشهای خود با آن روبه رو می شوند، باید به جستجوی یافتن کدامین پاسخها باشند. پاسخهایی که بتوان آنها را در قالب مفاهیم و اصطلاحات هندسی صورت بندی نمود و با نظریه هندسه اقلیدسی متلائم کرد. گالیله می گفت : “در این کتاب بزرگ که همواره پیش چشم ماست ، یعنی کتاب طبیعت ، حکمت را نگاشته اند؛ لکن ما به درک آن نایل نمی شویم , مگر اینکه بدانیم به چه زبان و علایمی آن را نوشته اند. این کتاب را به زبان ریاضی نوشته اند و علایم آن هم عبارت است از مثلث ، دایره و سایر اشکال هندسی . بدون کمک این زبان و این علایم ، محال است که یک کلمه از این کتاب را دریابیم ؛ و بدون درک این کتاب ، آدمی در هزار تویی تاریک ، سرگردان و یاوه گرد خواهد شد» (برت ، ۱۳۶۹، ص ۶۶).
با ظهور نیوتن , روشهای جبری تکامل قابل توجهی یافت . نیوتن با ابداع حساب مشتقات , ابزاری ساخت که همه هنرنمایی هایش قابل نمایش هندسی نبودند. از این رو، روشهای جبری را بیش از پیش توسعه داد. با وجود این , در بیان مفهوم “فضا و زمان ” در فیزیک اش به یک نظام هندسی کامل معتقد بود.
پارادایم هندسه اقلیدسی ، پس از انقلاب علمی ، نه تنها دانشمندان , بلکه پژوهش فیلسوفان درباره فضا و زمان را نیز به شدت تحت تأثیر قرار داد. از جمله این فیلسوفان می توان به دکارت ، مور، مالبرانش و برو اشاره نمود. این فیلسوفان قبل از نیوتن بودند. اما پس از وی ، کانت را می توان از مهم ترین فیلسوفانی دانست که افکارش درباره فضا و زمان بر قوام هندسه اقلیدسی به عنوان تنها هندسه متصور برای جهان , بیش از پیش تأکید کرد.
کانت در پی حقایقی بود که زندگی روزانه انسانها بدون اعتقاد به آنها غیر ممکن است . این حقایق لزوماً حقایق منطقی نیستند. از نظر کانت , قضایای ترکیبی پیشین از جمله این حقایق اند و هندسه اقلیدسی مجموعه ای از قضایای ترکیبی پیشینی است درباره ساختار مکانی که به ادراک در می آید. بنابراین اصول و قضایای هندسه اقلیدسی جزو حقایقی هستند که ما تنها بدان صورت جهان را ادراک می کنیم . ترودائو (Richard J. Trudeau) در کتاب انقلاب غیراقلیدسی (The Non-Euclidean Revolution) چنین می گوید: “کانت اظهار نمود که تنها تبیین همان است که اصول اقلیدس درباره چگونگی پردازشگری داده های حسی ، داده هایی که فضای حقیقی را تشکیل می دهند، توصیف می نماید. فضای پردازش شده ، فضای مطالعه شده در هندسه ، تحت قلمرو اصول اقلیدس است ؛ زیرا اصول اقلیدس همان اصولی هستند که فضا به وسیله آنها تشکیل شده است ! عدم توانایی ما در تردید در اصول اقلیدس ، انعکاسی از این حقیقت است که مغز ما به همان گونه ساخته شده که ما واقعاً قادر نیستیم درباره فضا به روش دیگر فکر کنیم (trudeau ;1987,p.113).
اظهارات کانت و طرفداری وی از مفهوم فضا و زمان نیوتنی, سبب شد که این اعتقاد که تنها یک هندسه وجود دارد و آن هندسه اقلیدسی است ، تنها تفکر حاکم بر دانشمندان و فیلسوفان قرون هیجده و نوزده شود. ۳ اصل توازی
اقلیدس اصل پنجم از اصول هندسه خود را چنین بیان می کند: “هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را قطع کند و مجموع زوایای درونی یک طرف آن خط از دو قائمه کمتر باشد، اگر این دو خط را بی نهایت امتداد دهیم ، سرانجام در همان طرفی که مجموع زوایا کمتر از دو قائمه است , یکدیگر را قطع می کنند”. بیان دیگری از این اصل آن است که بگوییم که از هر نقطه غیر واقع بر یک خط, یک و فقط یک خط به موازات آن می توان رسم کرد. از این رو این اصل به اصل توازی هم مشهور است . اقلیدس خود به اصل بودن آن, اعتماد چندانی نداشت و این واقعیت مؤید آن است که او استفاده از آن را برای اثبات قضایا، تا آنجا که ممکن بوده – تا گزاره بیست و نهمش – به تعویق انداخته است . خود این اصل نیز، هم توسط یونانیان زمان اقلیدس و هم در سده های بعد, مورد تردید قرار گرفته است و عده بسیاری سعی در اثبات آن از اصول پیشین داشته اند.
نخستین تلاشی که برای اثبات به عمل آمده ، توسط بطلمیوس بوده است . اما استدلال او به دور منجر می شد. پروکلوس (Proclus) (410 تا ۴۸۵ بعد از میلاد)، که شرح او بر کتاب اصول یکی از منابع اصلی اطلاعات ما در زمینه هندسه یونان است ، از اصل توازی بدین گونه انتقاد کرده است : “این را باید حتی از شمار اصول موضوعه بیرون آورد؛ زیرا این قضیه ای است که دشواریهای زیادی در بر دارد و بطلمیوس در کتابی به گشودن آنها همت گمارده است … این کلمه که ، چون دو خط را هرچه بیشتر امتداد دهیم بیش از پیش به هم نزدیک می شوند و سرانجام همدیگر را قطع می کنند، پذیرفتنی است ولی نه همیشه ” (گرینبرگ ،۱۳۷۰، ص ۱۲۴). پروکلوس هذلولی را مثال می زند که آن اندازه که بتوان تصور کرد, به مجانبهایش نزدیک می شود, بی آنکه هرگز آنها را قطع کند. او می گوید: “پس روشن است که باید برای این قضیه کنونی برهانی بیابیم و این مخالف ماهیت خاص اصل موضوعه است “(همان).
از مهم ترین تلاشهایی که بعدها برای اثبات اصل توازی به عمل آمده, از خواجه نصیرالدین طوسی (۱۲۷۴-۱۲۰۱) است . سپس جان والیس (John Wallis) (1703-1616) با بیان اصل موضوعه جدیدی به جای اصل پنجم (اصل توازی ), سعی در اثبات آن نمود. وی فکر می کرد که اصل موضوعه وی, قابل قبول تر از اصل توازی است . اما معلوم شد که اصل والیس و اصل پنجم اقلیدس منطقاَ هم عرض می باشند, سپس جیرو لامو ساکری (girolamo saccheri) (1733- 1667) در کتاب کوچکی به نام _ اقلیدس عاری از هرگونه نقص _ سعی در ارائه اثباتی با استفاده از برهان خلف برآمد. وی نقیض اصل توازی را پذیرفت و سپس سعی کرد تا تناقص را از آن ن